\input{../preambules/preDM.tex}
\usepackage{enumitem}

\begin{document}

\chead{Correction SIGMA n°3A}
\lfoot{}
\cfoot{SIGMA n°3A.}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction SIGMA n°3A}
\end{center}

\renewcommand{\P}{\mathscr{P}}
\newcommand{\U}{$\mathcal{U}$}
\newcommand{\V}{$\mathcal{V}$}
\def\e{\hbox{\rm e}}

\tikzstyle{mybox} = [draw=black, fill=white!20, very thick, rectangle, inner sep=1em, inner ysep=1em]

\newcommand{\textgrise}[1]{\begin{center}\begin{tikzpicture} \node [mybox] (box){#1};\end{tikzpicture}\end{center}}
\newcommand{\mathgrise}[1]{\begin{center}\begin{tikzpicture} \node [mybox] (box){$ \displaystyle{#1}$};\end{tikzpicture}\end{center}}
\newcommand{\mathgriseq}[2]{\begin{equation}\label{#1}\begin{tikzpicture} \node [mybox] (box){$\displaystyle #2$}; \end{tikzpicture}\end{equation}}

\def\systeme#1#2{\left\{\begin{array}{#1}#2\end{array}\right.}
\section*{Exercice 1 - Inspiré EML 2003}
On considère la matrice 
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$

\begin{enumerate}
\item  On calcule
$$
A^2 = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
 = \begin{pmatrix}
3 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
$$
et
$$
A^3 = \begin{pmatrix}
3 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
 = \begin{pmatrix}
5 & 3 & 3 \\
3 & 1 & 1 \\
3 & 1 & 1
\end{pmatrix}
$$
On remarque alors que 
\begin{center}
\fbox{ $A^3 = A^2 + 2A$.}
\end{center}
\item Supposons que la matrice $A$ est inversible. On a alors
\begin{align*}
A^3 = A^2 + 2A & \Longleftrightarrow A^2  = A + 2 I_3
\end{align*}
Or, 
$$
A + 2 I_3 = \begin{pmatrix}
3 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 2
\end{pmatrix}  \neq  A^2
$$
\begin{center}
\fbox{Donc, par l'absurde, $A$ n'est pas inversible.}
\end{center}
\item On montre par récurrence les propositions :
\begin{center}
$\P_n = \{$ Il existe un unique couple $(a_n,b_n)$ tel que $A^n = a_n A + b_n A^2 \}$. \\
\end{center}

\noindent {\bf Intialisation :} Pour $n = 1$, on pose $a_1 = 1$ et $b_1 = 0$. On a bien $A = a_1 A + b_1 A^2$.  \\ 

{\bf Hérédité :} On suppose la proposition $\P_n$ vraie pour un certain rang $n \geq 1$. Il existe donc un unique couple $(a_n,b_n)$ tel que $A^n = a_nA + b_n A^2$
On a alors 
\begin{align*}
A^{n+1} & = a_n A^2 + b_n A^3 \\
& = a_n A^2 + b_n (A^2 + 2A) \\
& = 2b_n A  + (a_n + b_n) A^2
\end{align*}
Donc en posant 
$$
a_{n+1} = 2 b_n \quad \text{et} \quad b_{n+1} = a_n + b_n
$$
on a bien $A^{n+1} = a_{n+1} A + b_{n+1}A^2$ . La proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.

{\bf Conclusion :} On a $A^{n} = a_n A + b_n A^2$ où $(a_n)$ et $(b_n)$ sont les suites définies par $a_1 = 1$, $b_1 = 0$ et 
\begin{center}
\fbox{$
a_{n+1} = 2 b_n \quad \text{et} \quad b_{n+1} = a_n + b_n
$}
\end{center}
\item \begin{enumerate}
\item D'après les résultats précédents, on a 
\begin{align*}
a_{n+2} & = 2 b_{n+1} = 2 (a_n + b_n) \\
& = 2 a_n + 2b_n 
\end{align*}
Et comme $2b_n = a_{n+1}$, on a bien 
\begin{center}
\fbox{$a_{n+2} = a_{n+1} + 2 a_n$.}
\end{center}
\item On remarque que $(a_n)$ est une suite récurrente linéaire d'ordre $2$. On résout l'équation 
$$
x^2 -x - 2 = 0
$$ 
Le discriminant de cette équation est $\Delta = 1 + 8 = 9$. L'équation admet donc 2 solutions
$$
x_1 = \dfrac{1- 3}{2} = - 1 \quad \text{et} \quad x_2 = \dfrac{1+3}{2} = 2
$$
Il existe donc $\lambda$ et $\beta$ tel que 
$$
a_n = \lambda \times (-1)^n + \beta \times 2^n 
$$
On utilise le fait que $a_1 = 1$ et $a_2 = 2b_1 = 0$. On résout le système
\begin{align*}
\begin{cases}
-\lambda + 2 \beta & = 1 \\
\lambda + 4 \beta & = 0
\end{cases}
& \Longleftrightarrow 
\begin{cases}
-\lambda + 2 \beta & = 1 \\
 6 \beta & = 1
\end{cases} \\
& \Longleftrightarrow 
\begin{cases}
-\lambda + \dfrac{1}{3} & = 1 \\
 \beta & = \dfrac{1}{6}
\end{cases} \\
& \Longleftrightarrow 
\begin{cases}
\lambda  & = - \dfrac{2}{3}\\
 \beta & = \dfrac{1}{6}
\end{cases}
\end{align*}
On a donc 
\begin{center}
\fbox{$ a_n =  \dfrac{2}{3} \times (-1)^{n-1} + \dfrac{1}{3} \times 2^{n-1}$.}
\end{center}
On en déduit que 
\begin{center}
\fbox{$ b_n =  \dfrac{1}{3} \times (-1)^{n} + \dfrac{1}{6} \times 2^{n}$.}
\end{center}
\item On conclut
\begin{center}
\fbox{$A^n = \left( \dfrac{2}{3} \times (-1)^{n-1} + \dfrac{1}{3} \times 2^{n-1} \right) A + \left(\dfrac{1}{3} \times (-1)^{n} + \dfrac{1}{6} \times 2^{n} \right) A^2$.}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice2 - Inspiré ECRICOME 2008}


On considère  pour $p\in \mathbb{N}^*$ les fonctions suivantes:
$$\left\{ \begin{array}{ll} f_p(x)=1 + \ln(x +p) \\ 
h_p(x)=x-f_p(x) \end{array} \right.$$
On note $(\mathscr{C}_p)$ la courbe représentative de la fonction $f_p$.
\begin{enumerate}
\item \'Etude de la fonction $f_{1}$.

\begin{enumerate}
\item On a $f_{1}\left( x\right) =1+\ln \left( 1+x\right) $. On résout 
$$
1+x > 0 \Longleftrightarrow x  - 1
$$
Donc \begin{center}
\fbox{$f_{1}$ est d\'{e}finie et dérivable sur $\left] -1,+\infty \right[ $}
\end{center}

\item On dérive la fonction $f_1$. Pour tout $x \in ]-1, + \infty[$, 
$$f_1'(x) = \dfrac{1}{x+1} > 0.$$
La fonction $f_1$ est strictement croissante sur $]-1, + \infty[$. On a les limites
$$
\li_{x \tos - 1} f_1(x) = - \infty \quad \text{et} \quad \li_{x \to + \infty} f_1(x) = + \infty
$$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,Signe de $f_1'(x)$/1, Variations de $f_1$/2}{$-1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,}
\tkzTabVar{-/$-\infty$,+/$+\infty$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Le développement limité en $x=0$ de $\ln(1+x)$ à l'ordre 1 est (en notant $\varepsilon(x)$ une fonction tendant vers 0 quand $x$ tend vers 0.
$$
\ln(1+x) = x + \varepsilon(x)
$$
Donc,
\begin{center}
\fbox{$f_1(x) = 1 + x + x \varepsilon(x)$.}
\end{center}
\item On en déduit que l'équation de la tangente en 0 est donnée par 
\begin{center}
\fbox{$ y = 1+x$}
\end{center}

\item La fonction $f_1$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $]-1, + \infty[$. On calcule la dérivée seconde de $f_1$. On a 
$$
f_1"(x) = - \dfrac{1}{(1+x)^2} < 0
$$
\begin{center}
\fbox{La fonction $f_1$ est donc concave sur $]-1, + \infty[$.}
\end{center}
\item La fonction $f_1$ étant concave sur $]-1,+\infty[$, elle est en dessous de toutes ses tangentes. 
\begin{center}
\fbox{La courbe $\mathscr{C}_1$ est en dessous de sa tangente. }
\end{center}
\item On trace la courbe avec la tangente en 0 et l'asymptote verticale en $x=-1$.
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{sigma3A(1).png}
\end{center}
\end{enumerate}

\item \'Etude d'une suite $\left( \protect \alpha _{p}\right) _{p\in 
\mathbb{N}^{\ast }}$.

\begin{enumerate}
\item On a $h_{p}\left( x\right) =x-f_{p}\left( x\right) =x-1-\ln \left(
x+p\right) .$ La fonction $h_{p}$ est d\'{e}rivable sur $\left] -p,+\infty \right[ $ et 
$$ 
h_{p}^{\prime}\left( x\right) =1-\frac{1}{x+p}=\frac{x+p-1}{x+p} .$$ 

Comme $p\geq 1,$ pour tout $x \in \left] 0,+\infty \right[$, $h_{p}^{\prime }(x)>0$. La fonction $h_p$ est donc strictement croissante.

D'une part, on a 
$$h_p(0) = -1 - \ln(p) < 0 .$$
D'autre part,
$$ h_{p}\left( x\right) =x-1-\ln \left( x+p\right) =x-1-\ln \left(
x\left( 1+p/x\right) \right) =x\left( 1-\frac{1}{x}-\frac{\ln \left(
x\right) }{x}-\frac{\ln \left( 1+p/x\right) }{x}\right) $$
Or $\li_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$ par croissances comparées, $\li _{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$ et $\li_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(1 + p/x)}{x} = 0$. Ainsi
$$
\li_{x \to + \infty} h_p(x) = + \infty
$$
Donc $h_{p}$ est continue et strictement croissante sur $\left] 0,+\infty %
\right[ ,$ donc bijective de $\left] 0,+\infty \right[ $ dans $\left]
-1 - \ln(p),+\infty \right[ .$

Et comme $0$ appartient \`{a} cet intervalle, l'\'{e}quation $h_{p}\left(
x\right) =0$ a une unique solution $\alpha _{p}$ sur $\left] 0,+\infty %
\right[ .$

\textsl{Conclusion : }\fbox{ l'\'{e}quation $f_{p}\left( x\right) =x$ admet
une unique solution $\alpha _{p}$ sur $\left] 0,+\infty \right[ $}

\item On a $f_{p+1}\left( x\right) =1+\ln \left( x+p+1\right) $ donc $%
f_{p+1}\left( \alpha _{p+1}\right) =1+\ln \left( \alpha _{p+1}+p+1\right)
=\alpha _{p+1}$ et 
$$h_{p}\left( \alpha _{p+1}\right) =\alpha _{p+1}-1-\ln \left( \alpha
_{p+1}+p\right) =\ln \left( \alpha _{p+1}+p+1\right) -\ln \left( \alpha
_{p+1}+p\right) .$$

Et comme 
\begin{align*}
& \alpha_{p+1}+p+1 >\alpha _{p+1}+p \\
\Longleftrightarrow & \ln \left( \alpha_{p+1}+p+1\right) >\ln \left( \alpha _{p+1}+p\right)
\end{align*} 

\begin{center}
\fbox{$h_{p}\left( \alpha _{p+1}\right) >0$}
\end{center}

On a donc $h_{p}\left( \alpha _{p+1}\right) >0=h_{p}\left( \alpha
_{p}\right) $ et comme la fonction $h_{p}$ est strictement croissante sur $%
\left] 0,+\infty \right[ $ et bijective alors $\alpha _{p+1}>\alpha _{p}.$

\begin{center}
\fbox{la suite $\left( \alpha _{p}\right) _{p\in \mathbb{N}^{\ast }}$ est donc croissante.
}
\end{center}

\item On compare les images par $h_{p}.$ D'une part, $h_{p}\left( \alpha _{p}\right) =0$ et 
\begin{align*}
h_{p}\left( 1+\ln \left( p\right) \right)& = 1+\ln \left( p\right) -1-\ln \left( p+1+\ln \left( p\right) \right) \\
& =\ln \left( p\right) -\ln \left( p+1+\ln \left( p\right) \right) 
\end{align*} 
et comme 
\begin{align*}
& p+1+\ln \left( p\right) >p \\
\Longleftrightarrow & \ln \left( p\right) <\ln \left(p+1+\ln \left( p\right) \right) \\
\Longleftrightarrow & h_{p}\left( 1+\ln \left( p\right) \right) <0=h_{p}\left( \alpha _{p}\right) .
\end{align*} 

Donc ($h_{p}$ strictement croissante)

\textsl{Conclusion : }\fbox{$\alpha _{p}\geq 1+\ln \left( p\right) $} et par
minoration,

\begin{center}
\fbox{$\li_{p \to +\infty} \alpha_{p} = + \infty $}
\end{center}
\end{enumerate}

\item Valeur approch\'{e}e de $\protect \alpha _{1}$ .

On admet que le r\'{e}el $\alpha _{1}$ appartient \`{a} intervalle $\left[
1,3\right] .$ On d\'{e}finit la suite $\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ par $$%
\left
\{ 
\begin{array}{c}
u_{0}=1 \\ 
\forall n\in \mathbb{N}:u_{n+1}=f_{1}\left( u_{n}\right)%
\end{array}%
\right. $$

\begin{enumerate}
\item On montre par récurrence les propositions :
\begin{center}
$\P_n = \{ u_n \geq 1 \}$. \\
\end{center}

\noindent {\bf Intialisation :} Pour $n = 0$, on a $u_0 = 1 \geq 1$. La  proposition $\P_0$ est donc vraie. \\ 

{\bf Hérédité :} On suppose la proposition $\P_n$ vraie pour un certain rang $n \geq 0$. 
On a alors 
\begin{align*}
u_n \geq 1 \Longrightarrow & f_1(u_n)  \geq f_1 (1) \quad \text{La fonction $f_1$ est croissante} \\
\Longrightarrow & u_{n+1}  \geq 1+ \ln(2) \geq 1 \quad  \\
\end{align*}
 La proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.

{\bf Conclusion :} On a 
\begin{center}
\fbox{$\forall n \in \N, u_{n} > 1$}
\end{center}

\item On regarde si la dérivée est bornée par $\dfrac{1}{2}$. La question précédente ($u_n \geq 1$ suggère que l'on doit s'intéresser à l'intervalle $[1,+\infty[$. D'après la première partie,
$$ f_{1}^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{1+x}$$
Or, pour tout $%
x\in \left[ 1,+\infty \right[ .$ on a $0 < f_1'(x)\leq \frac{1}{2}$ Donc
\begin{itemize}
\item $f_1$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I = [1, +\infty[$
\item $\forall x \in I, |f'(x)| \leq \dfrac{1}{2}$
\item $\forall n \in \N$, $u_n \in I$ et $\alpha_1 \in I$.
\end{itemize}
Donc d'après l'inégalité des accroissements finies
$$
|f_1(u_n) - f_1(\alpha_1) | \leq \dfrac{1}{2} | u_n - \alpha_1|
$$
c'est à dire 
\begin{center}
\fbox{$|u_{n+1} - \alpha_1 | \leq \dfrac{1}{2} | u_n - \alpha_1|$}
\item 
\end{center}
\item On montre par récurrence les propositions :
\begin{center}
$\P_n = \{| u_n - \alpha_1| \leq \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n-1} \}$. \\
\end{center}

\noindent {\bf Intialisation :} Pour $n = 0$, on a $u_0 = 1$ et $\alpha_1 \in [1,3]$ donc $|u_0 - \alpha| \leq 2 = \left(\dfrac{1}{2} \right)^{-1}$. La  proposition $\P_0$ est donc vraie. \\ 

{\bf Hérédité :} On suppose la proposition $\P_n$ vraie pour un certain rang $n \geq 0$. 
On a alors 
\begin{align*}
&|u_{n+1} - \alpha_1| \leq \dfrac{1}{2} |u_n - \alpha_1| \quad \text{d'après la question précédente} \\
\Longrightarrow & |u_{n+1} - \alpha_1|  \leq \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{2} \right)^{n-1} \quad \text{hypothèse de récurrence} \\
\Longrightarrow & |u_{n+1} - \alpha_1|  \leq  \left(\dfrac{1}{2} \right)^{n} 
\end{align*}
 La proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.

{\bf Conclusion :} On a 
\begin{center}
\fbox{$\forall n \in \N, |u_{n}-\alpha_1| \leq \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n-1}$}
\end{center}

\item Si $\left( \frac{1}{2}\right) ^{n-1}\leq 10^{-4}$ alors $\left \vert
u_{n}-\alpha _{1}\right \vert \leq 10^{-4}.$

\begin{align*}
\left( \frac{1}{2}\right) ^{n-1}\leq 10^{-4} & \Longleftrightarrow \left(
n-1\right) \ln \left( \frac{1}{2}\right) \leq -4\ln \left( 10\right) \\
& \Longleftrightarrow \left( n-1\right) \geq 4\ln \left( 10\right) /\ln \left(
2\right) \\
& \Longleftrightarrow n\geq 1+4\ln \left( 10\right) /\ln \left(
2\right) 
\end{align*}

qui est r\'{e}alis\'{e} pur la partie enti\`{e}re plus 1.

\textsl{Conclusion : }\fbox{$n_{0}=\left \lfloor 1+4\ln \left( 10\right)
/\ln \left( 2\right) \right \rfloor +1$ la condition est r\'{e}alis\'{e}e.}

\item Programme Scilab
\begin{verbatim}
n0 = floor(1+ 4 * log(10)/log(2)) + 1
u = 1
for k = 1 : n0
    u = 1 + log(1+u)
end
disp (n0, u)
\end{verbatim}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\section*{Exercice 3 - Inspiré ECRICOME 2009}

\subsection*{Liminaire}
Soient $x$ un r\'{e}el dans l'intervalle $\left[ 0,1\right[ $, $n$ un entier
naturel non nul et $S_{n}$ la fonction d\'{e}finie par :%
\begin{equation*}
S_{n}\left( x\right) =\sum_{k=0}^{n}x^{k}
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Comme $x\neq 1,$ on a 
\begin{center}
\fbox{$\displaystyle S_{n}\left( x\right) =\dfrac{%
1-x^{n+1}}{1-x}$}
\end{center}

\item $S_{n}$ est d\'{e}rivable sur $\left[ 0,1\right[ $ et 
\begin{eqnarray*}
S_{n}^{\prime }\left( x\right) &=&0+\sum_{k=1}^{n}kx^{k-1} \\
&=&\frac{-\left( n+1\right) x^{n}\left( 1-x\right) +\left( 1-x^{n+1}\right) 
}{\left( 1-x\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}%
\textsl{Conclusion : }\fbox{$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}kx^{k-1}=\dfrac{%
nx^{n+1}-\left( n+1\right) x^{n}+1}{\left( 1-x\right) ^{2}}$}%

\end{enumerate}

Une municipalit\'{e} a lanc\'{e} une \'{e}tude concernant les probl\`{e}mes
li\'{e}s au transport.

\subsection*{Partie 1.}

Sur une ligne de bus, une enqu\^{e}te a permis de r\'{e}v\'{e}ler que le
retard (ou l'avance) sur l'horaire officiel du bus \`{a} une station donn%
\'{e}e, peut \^{e}tre repr\'{e}sent\'{e}(e) par une variable al\'{e}atoire r%
\'{e}elle, not\'{e}e $X$, exprim\'{e}e en minutes, qui suit une loi normale $%
\mathcal{N}\left( m,\sigma ^{2}\right) $.

On admet de plus que la probabilit\'{e} que le retard soit inf\'{e}rieur 
\`{a} $7$ minutes est \'{e}gale \`{a} $p=0.8413$ et que l'esp\'{e}rance de $%
X $ est de $5$ minutes.

\begin{enumerate}
\item Comme $X\hookrightarrow \mathcal{N}\left( m,\sigma ^{2}\right) $ alors 
$E\left( X\right) =m$ et la centr\'{e}e-r\'{e}duite $X^{\ast }=\dfrac{X-m}{%
\sigma }\hookrightarrow \mathcal{N}\left( 0,1\right) $ donc $\mathrm{P}%
\left( \dfrac{X-m}{\sigma }\leq x\right) =\Phi \left( x\right) $ pour tout $%
x $ $\in \mathbb{R}.$

D'après l'énoncé, $m=E\left( X\right) =5$ et $\mathrm{P}\left( X\leq 7\right) =\mathrm{P}\left( \dfrac{X-5}{\sigma }%
\leq \dfrac{2}{\sigma }\right) =\Phi \left( \dfrac{2}{\sigma }\right)
=0.8413 $ donc $\dfrac{2}{\sigma }=1$ et $\sigma =2$

\textsl{Conclusion : }\fbox{$m=5$ et $\sigma =2$}

\item $\mathrm{P}\left( X\geq 9\right) =1-\mathrm{P}\left( X\leq 9\right)
=1-\Phi \left( \dfrac{9-5}{2}\right) =1-\Phi \left( 2\right)
=1-0,9772=0,0228 $

\textsl{Conclusion : }\fbox{la probabilit\'{e} que le retard soit sup\'{e}%
rieur \`{a} $9$ minutes vaut 0,0228}

\item On demande 
\begin{eqnarray*}
\mathrm{P}_{X>3}\left( X\leq 7\right) &=&\frac{\mathrm{P}\left( X\leq 7\cap
X>3\right) }{\mathrm{P}\left( X>3\right) } \\
&=&\frac{\mathrm{P}\left( 3<X\leq 7\right) }{\mathrm{P}\left( X>3\right) }=%
\frac{\mathrm{P}\left( -1<X^{\ast }\leq 1\right) }{\mathrm{P}\left( X^{\ast
}>-1\right) }
\end{eqnarray*}%
$\mathrm{P}\left( X^{\ast }>-1\right) =1-\Phi \left( -1\right) =1-\left(
1-\Phi \left( 1\right) \right) =\Phi \left( 1\right) =0,8413$

$\mathrm{P}\left( -1<X\leq 1\right) =\Phi \left( 1\right) -\Phi \left(
-1\right) =2\Phi \left( 1\right) -1=0,6826$

\textsl{Conclusion : }\fbox{$\mathrm{P}_{X>3}\left( X\leq 7\right) =\dfrac{%
0,6826}{0,8413}$}

\item Monsieur Thierex fr\'{e}quente cette ligne de bus tous les jours
pendant 10 jours. On suppose que les retards journaliers sont ind\'{e}%
pendants.

\begin{enumerate}
\item La probabilit\'{e} de retard inf\'{e}rieur \`{a} 7 minute est de $p$
chaque jour.

Les retard sont ind\'{e}pendants. Donc sur 10 jours,

\textsl{Conclusion : }\fbox{$Y\hookrightarrow \mathcal{B}\left( 10,p\right) $%
, $E\left( Y\right) =10p$ et $V\left( Y\right) =10p\left( 1-p\right) $}

\item On d\'{e}finit par $Z$ la variable al\'{e}atoire discr\`{e}te r\'{e}%
elle indiquant le rang $k$ du jour o\`{u} pour la premi\`{e}re fois Monsieur
Thierex attend plus de 7 minutes si cet \'{e}v\'{e}nement se produit. Dans
le cas contraire si le temps d'attente est inf\'{e}rieur \`{a} 7 minutes
pendant les dix jours, $Z$ prend la valeur $0$.\newline
En notant $A_{k}$ l'\'{e}v\'{e}nement "le bus a moins de 7 minutes de retard
le jour $k$"

\begin{eqnarray*}
\left[ Z=0\right] &=&\bigcap_{k=1}^{10}A_{k}\text{ ind\'{e}pendants donc } \\
\mathrm{P}\left[ Z=0\right] &=&\prod_{k=1}^{10}\mathrm{P}\left( A_{k}\right)
=p^{10} \\
\left[ Z=k\right] &=&\bigcap_{i=1}^{k-1}A_{i}\cap \overline{A_{k}}\text{
donc } \\
\mathrm{P}\left[ Z=k\right] &=&p^{k-1}\left( 1-p\right) \text{ pour }k\in %
\left[ \left[ 1,10\right] \right]
\end{eqnarray*}

D'o\`{u} l'esp\'{e}rance :%
\begin{eqnarray*}
E\left( Z\right) &=&\sum_{k=0}^{10}k\mathrm{P}\left( Z=k\right) \\
&=&0\mathrm{P}\left( Z=0\right) +\sum_{k=1}^{10}kp^{k-1}\left( 1-p\right) \\
&=&\left( 1-p\right) \sum_{k=1}^{10}kp^{k-1} \\
&=&\frac{10p^{11}-11p^{10}+1}{\left( 1-p\right) }
\end{eqnarray*}%
\textsl{Conclusion : }\fbox{$E\left( Z\right) =\dfrac{10p^{11}-11p^{10}+1}{%
\left( 1-p\right) }$}
\end{enumerate}

\item Lass\'{e} des retards de son bus, Monsieur Thurman d\'{e}cide de
prendre le bus ou le m\'{e}tro selon le protocole suivant :

\begin{itemize}
\item Le premier jour, il prend le bus.

\item Si le jour $n$ $\left( n\in \mathbb{N}^{\ast }\right) $ il attend plus
de 7 minutes pour prendre le bus, le jour $n+1$ il prend le m\'{e}tro, sinon
il prend de nouveau le bus.

\item Si le jour $n$ il prend le m\'{e}tro, le jour $n+1$ il prend le m\'{e}%
tro ou le bus de fa\c{c}on \'{e}quiprobable.
\end{itemize}

On note $p_{n}$ la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement $A_{n}=$" Monsieur
Thurman prend le bus le jour $n$"

\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, $\left( A_{n},\overline{A_{n}}%
\right) $ est un syst\`{e}me complet d'\'{e}v\'{e}nements donc 
\begin{equation*}
\mathrm{P}\left( A_{n+1}\right) =\mathrm{P}_{A_{n}}\left( A_{n+1}\right) 
\mathrm{P}\left( A_{n}\right) +\mathrm{P}_{\overline{A_{n}}}\left(
A_{n+1}\right) \mathrm{P}\left( \overline{A_{n}}\right)
\end{equation*}%
La probabilit\'{e} d'attendre moins de 7 minutes \'{e}tant $p$ : $\mathrm{P}%
_{A_{n}}\left( A_{n+1}\right) =\mathrm{P}\left( \text{"moins de 7 min"}%
\right) =p$

et $\mathrm{P}_{\overline{A_{n}}}\left( A_{n+1}\right) =\frac{1}{2}$ quand
on a pris le m\'{e}tro.

Enfin $\mathrm{P}\left( \overline{A_{n}}\right) =1-\mathrm{P}\left(
A_{n}\right) $ donc 
\begin{equation*}
\mathrm{P}\left( A_{n+1}\right) =p\mathrm{~}p_{n}+\frac{1}{2}\left(
1-p_{n}\right)
\end{equation*}

\textsl{Conclusion : }\fbox{$p_{n+1}=\left( p-\frac{1}{2}\right) p_{n}+\frac{%
1}{2}$}

\item Soit $\alpha $ le r\'{e}el v\'{e}rifiant :%
\begin{eqnarray*}
\left. \alpha =\left( p-\frac{1}{2}\right) \alpha +\frac{1}{2}\right.
&\Longleftrightarrow &\left( \frac{3}{2}-p\right) \alpha =\frac{1}{2} \\
&\Longleftrightarrow &\alpha =\frac{1}{3-2p}
\end{eqnarray*}%
On a $p_{n+1}-\alpha =\left( p-\frac{1}{2}\right) \left( p_{n}-\alpha
\right) $ donc la suite $\left( p_{n}-\alpha \right) $ est g\'{e}om\'{e}%
trique de raison $\left( p-\frac{1}{2}\right) $ et de premier terme : $%
p_{1}-\alpha =1-\alpha $

Donc $\left( p_{n}-\alpha \right) =\left( p-\frac{1}{2}\right) ^{n-1}\left(
1-\alpha \right) $ et

\textsl{Conclusion : }\fbox{$p_{n}=\left( p-\frac{1}{2}\right) ^{n-1}\left(
1-\alpha \right) +\alpha $ pour $n\in \mathbb{N}^{\ast }$}

\item Comme $\left \vert p-\frac{1}{2}\right \vert <1$ alors $\left( p-\frac{%
1}{2}\right) ^{n-1}\rightarrow 0$ et $p_{n}\rightarrow \alpha $

\textsl{Conclusion : }\fbox{$\li_{n \to + \infty} p_{n} = \alpha $}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Partie 2.}

\begin{enumerate}
\item Le nombre d'appels re\c{c}us par le standard d'une soci\'{e}t\'{e} de
taxis pendant une p\'{e}riode de dur\'{e}e $t$ suit une loi de Poisson $%
Y_{t} $ de param\`{e}tre $\lambda t$, $\lambda $ \'{e}tant une constante
strictement positive. Une origine de temps \'{e}tant choisie, on note $T$ la
variable al\'{e}atoire r\'{e}elle repr\'{e}sentant le temps d'attente du
premier appel vers ce standard. Par convention $\mathrm{P}\left( T\leq
t\right) =0$ pour $t<0$.

\begin{enumerate}
\item \textsl{Conclusion : }\fbox{$\mathrm{P}\left[ Yt=k\right] =\dfrac{%
\left( \lambda t\right) ^{k}\exp \left( -\lambda t\right) }{k!}$ et $E\left(
Y_{t}\right) =V\left( Y_{t}\right) =\lambda t$}

\item $\left[ Y_{t}=0\right] $ signifie que pendant la p\'{e}riode $\left[
0,t\right] $ il n'y a eu aucun appel, c'est \`{a} dire que le premier appel
n'est arriv\'{e} qu'apr\`{e}s $t.$

\textsl{Conclusion : }\fbox{$\left[ Y_{t}=0\right] =$ $\left[ T>t\right] $}
donc ils ont m\^{e}me probabilit\'{e} et

\textsl{Conclusion : }\fbox{$\mathrm{P}$ $\left[ T>t\right] =\exp \left(
-\lambda t\right) $ et $\mathrm{P}\left[ T\leq t\right] =1-\exp \left(
-\lambda t\right) $ pour tout $t\geq 0$}

\item On a donc $F_{T}\left( t\right) =\mathrm{P}\left[ T\leq t\right]
=1-\exp \left( -\lambda t\right) $ si $t\geq 0$ et $F_{T}\left( t\right) =0$
si $t<0$ et on reconna\^{\i}t la fonction de r\'{e}partition d'une loi
exponentielle

\textbf{( }on peut,sinon, chercher d'abord la densit\'{e},, apr\`{e}s avoir v%
\'{e}rifi\'{e} que $F_{t}$ \'{e}tait continue sur $\mathbb{R}$ et $C^{1}$
sur $\mathbb{R}^{\ast }:F_{T}^{\prime }\left( t\right) =\lambda \exp \left(
-\lambda t\right) $ si $t>0$ et $0$ si $t<0$ )

\textsl{Conclusion : }\fbox{$T\hookrightarrow \varepsilon \left( \lambda
\right) $ donc $E\left( T\right) =\dfrac{1}{\lambda }$ et $V\left( t\right) =%
\dfrac{1}{\lambda ^{2}}$}
\end{enumerate}

\item La dur\'{e}e, exprim\'{e}e en heures, du transport d'un client par la
soci\'{e}t\'{e} est une variable al\'{e}atoire $U$ \`{a} densit\'{e} dont
une densit\'{e} est donn\'{e}e par :%
\begin{equation*}
\left \{ 
\begin{array}{cc}
g\left( t\right) =t~e^{-t} & \text{ si }t\geq 0 \\ 
g\left( t\right) =0 & \text{si }t<0%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item $g$ est positive et continue par morceaux sur $\mathbb{R}$

$\int_{-\infty }^{0}g=\int_{-\infty }^{0}0$ converge et est nulle

$\int_{0}^{+\infty }t~e^{-t}dt=1$ (esp\'{e}rance d'une loi $\varepsilon
\left( 1\right) $ )

(on peut aussi calculer l'int\'{e}grale partielle en int\'{e}grant par
parties)

Donc $\int_{-\infty }^{+\infty }g\left( t\right) dt$ converge et vaut $1.$

\textsl{Conclusion : }\fbox{$g$ est bien une densit\'{e} de probabilit\'{e}.}

\item On cherche si l'espérance de $U$ existe :

\begin{center}
\fbox{$U$ a une esp\'{e}rance et $E\left( U\right) =2$
dur\'{e}e moyenne de transport.}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}